İçeriğe geç

7. sınıf · Matematik · 4. hafta (5-9 Ekim 2026)

Rasyonel Sayılar ve Farklı Temsilleri; Rasyonel Sayılarda Karşılaştırma ve Sıralama

Sayılar ve Nicelikler (1) teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Geçen hafta kesirleri bölme yoluyla sonlu ya da devirli ondalık gösterime çevirdin ve sonlu gösterimleri yeniden kesre döndürdün. Bu hafta devirli ondalık gösterimleri de kesre çevirecek, ardından rasyonel sayıları sayı doğrusunda karşılaştırıp sıralamaya başlayacaksın.

Devirli ondalık gösterimi kesre çevirmek

Devirli bir ondalık gösterimi kesre çevirirken pay ile paydayı ayrı ayrı bulursun. Pay için virgülü ve devir işaretini yok sayıp bütün rakamları yan yana yazarsın; bu sayıdan, devretmeyen rakamların (tam kısım dâhil) oluşturduğu sayıyı çıkarırsın. Payda için önce devreden rakam sayısı kadar 9, ardından virgülden sonraki devretmeyen rakam sayısı kadar 0 yazarsın.

Örneğin 0,3̅ sayısında bütün rakamlar 3’tür ve devretmeyen rakam yoktur; pay 3 − 0 = 3, payda 9 olur: 0,3̅ = 39 = 13. Benzer biçimde 0,83̅ sayısında bütün rakamlar 83, devretmeyen kısım 8’dir; pay 83 − 8 = 75 olur. Devreden bir rakam ve devretmeyen bir rakam bulunduğundan payda 90’dır: 7590 = 56.

Devreden iki rakam varsa paydaya iki tane 9 yazılır. Devretmeyen rakam bulunmadığından pay 27 − 0 = 27 olur: 0,2̅7̅ = 2799 = 311. Sonuçları bölmeyle de sınayabilirsin: 1 ÷ 3 = 0,333…, 5 ÷ 6 = 0,8333… ve 3 ÷ 11 = 0,2727… bulunur.

0,83Bütün rakamlar: 83Devretmeyen rakam: 8Pay: 83 − 8 = 75Payda: 90 (bir 9, bir 0)7590=560,27Bütün rakamlar: 27Devretmeyen rakam: yokPay: 27 − 0 = 27Payda: 99 (iki 9)2799=311

Tam kısmı ve eksi işareti olan devirli sayılar

Tam kısmı olan devirli sayılarda da aynı kural işler; tam kısmın rakamları bütün rakamlara ve devretmeyen rakamlara katılır. Örneğin 2,16̅ sayısında bütün rakamlar 216, devretmeyen rakamlar 21’dir. Pay 216 − 21 = 195, payda 90 olur: 2,16̅ = 19590 = 136.

Virgülden hemen sonra devreden sayılarda da kural aynıdır. Örneğin 1,2̅ sayısında bütün rakamlar 12, devretmeyen rakam 1’dir; pay 12 − 1 = 11, payda 9 olur ve sayı 119 bulunur. Sayı negatifse eksi işareti kesrin önünde kalır: −1,2̅ = −119.

Devirli bir ondalık gösterim bu yolla payı ve paydası tam sayı olan bir kesre dönüşür; bu yüzden her devirli ondalık gösterim bir rasyonel sayıdır. Kesirden ondalık gösterime ve ondalık gösterimden kesre geçişler birbirinin tersidir. Çevirdiğin sayıyı geri çevirerek kontrol edebilirsin: 119 sayısında 11 ÷ 9 bölmesi 1,222… verir; yani 1,2̅ elde edilir.

Sonsuz 9’lar: 0,999… ile 1 aynı sayıdır

Sonsuza kadar 9’larla yazılan bir sayının 1’den küçük kalıp kalmadığını üç yolla inceleyebilirsin. Birinci yol sayı doğrusudur: 0,9; 0,99 ve 0,999 sayıları 1’e giderek yaklaşır. Bu sayıların 1’e uzaklığı sırasıyla 0,1; 0,01 ve 0,001’dir. Yazılan 9’lar sonsuza kadar sürdüğünde 1 ile sayı arasında hiçbir fark kalmaz.

İkinci yol kesre çevirmektir. Bu yolda 0,9̅ sayısının bütün rakamları 9’dur ve devretmeyen rakam yoktur; pay 9 − 0 = 9, payda 9 olur: 0,9̅ = 99 = 1. Üçüncü yol 13 = 0,333… eşitliğine dayanır. Eşitliğin iki yanını 3 ile çarparsan sol yanda 1, sağ yanda 0,999… elde edersin; demek ki 0,999… = 1’dir.

Aynı sonuç öbür devirlerde de ortaya çıkar: 4,9̅ sayısında pay 49 − 4 = 45, payda 9 olduğundan sayı 459 = 5 olur; yani 4,999… = 5’tir.

010,91’e uzaklık: 0,1Turuncu aralık büyütülüp 10 eş parçaya bölünür0,910,991’e uzaklık: 0,01Turuncu aralık büyütülüp 10 eş parçaya bölünür0,9910,9991’e uzaklık: 0,0019’lar sonsuza kadar sürerse sayı 1’e eşit olur.

Tam sayıları sayı doğrusunda karşılaştırmak

Rasyonel sayıları karşılaştırmaya paydası 1 olan sayılardan, yani tam sayılardan başlarsın. Sayı doğrusunda bir sayının sağındaki her sayı ondan büyük, solundaki her sayı ondan küçüktür. Örneğin 2 sayısı −4’ün sağındadır; bu yüzden 2 > −4’tür. Öte yandan −7, −3’ün solundadır; bu yüzden −7 < −3’tür.

Gezegenlerin yüzey sıcaklıkları bu karşılaştırmayı gösterir. Venüs 464 °C, Merkür 167 °C, Dünya 15 °C, Mars −65 °C, Jüpiter −110 °C, Satürn −140 °C, Uranüs −165 °C ve Neptün −200 °C sıcaklığa sahiptir. Bu değerleri sayı doğrusuna yerleştirdiğinde Neptün en solda, Venüs en sağda kalır.

Soldan sağa gidildikçe sıcaklık değeri büyür: −200 < −165 < −140 < −110 < −65 < 15 < 167 < 464. Mars ile Neptün’ü karşılaştırırken −65, −200’ün sağında olduğundan −65 > −200’dür; yani Mars daha sıcaktır. En sağdaki değer en büyük, en soldaki değer en küçüktür; bu sıcaklıklarda Venüs en büyük, Neptün en küçük değere sahiptir.

−200−1000100200300400Neptün−200 °CUranüs−165 °CSatürn−140 °CJüpiter−110 °CMars−65 °CDünya15 °CMerkür167 °CVenüs464 °Cnegatif değerpozitif değerSağa doğru büyür →

Rasyonel sayıları sayı doğrusunda sıralamak

Yatay bir sayı doğrusunda sağa ilerledikçe değerler artar, sola ilerledikçe azalır; rasyonel sayılar da bu düzene uyar. Sıralama yapmak için sayıları sayı doğrusunda yaklaşık yerlerine koyar, sonra soldan sağa okursun. Çizginin sol ucuna yakın sayı daha küçük, sağ ucuna yakın sayı daha büyüktür.

Şu beş sayıyı sayı doğrusuna yerleştir: −3, −52, −34, 14 ve 74. Bunlardan −52, −2,5’e eşit olduğundan −3 ile −2 arasında yer alır; −34 ise −1 ile 0 arasındadır. Pozitif olan 14 0 ile 1 arasında, 74 ise 1 ile 2 arasında bulunur.

Soldan sağa okuyunca küçükten büyüğe sıralama elde edilir: −3 < −52 < −34 < 14 < 74. Büyükten küçüğe sıralamak istersen aynı sayıları sağdan sola okursun.

−3−2−10123−3−52−341474← Sola gidildikçe küçülürSağa gidildikçe büyür →Soldan sağa okuma:−3<−52<−34<14<74negatif sayıpozitif sayı

İşarete göre karşılaştırma: pozitif, negatif ve sıfır

Pozitif rasyonel sayılar sayı doğrusunda sıfırın sağında, negatif rasyonel sayılar sıfırın solunda yer alır. Bu yüzden pozitif sayılar sıfırdan büyük, negatif sayılar sıfırdan küçüktür. Pozitif bir sayı her zaman negatif bir sayıdan büyüktür: 110 > −92.

Pozitif sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülür, sıfırdan uzaklaştıkça büyür: 12 < 52. Negatif sayılarda ise sıfırdan uzaklaştıkça sayı küçülür, sıfıra yaklaştıkça büyür. Örneğin −7, −2’den sıfıra daha uzak olduğundan −7 < −2’dir.

Mutlak değerle sıralamayı birbirine karıştırma. Örneğin |−12| = 12 olduğundan |−12| > −12’dir. Öte yandan −12 < −8 iken |−12| > |−8| olur; çünkü mutlak değer yalnız sıfıra uzaklığı verir, sayının sayı doğrusundaki sırasını vermez.

Örnekler

  1. Örnek 1Devirli ondalık gösterimi 0,54̅ olan sayıyı kesir olarak yaz.

    Cevabı göster

    Bütün rakamlar 54, devretmeyen rakam 5’tir; pay 54 − 5 = 49 olur. Devreden bir rakam ve devretmeyen bir rakam bulunduğundan payda 90’dır. Sayı 4990 olur; bu kesir daha fazla sadeleşmez.

  2. Örnek 2Devirli ondalık gösterimi −4,1̅8̅ olan sayıyı kesir olarak yaz.

    Cevabı göster

    Bütün rakamlar 418, devretmeyen rakam yalnız tam kısımdaki 4’tür; pay 418 − 4 = 414 olur. Devreden iki rakam olduğundan payda 99’dur. Eksi işareti korunur: −41499. Pay ve payda 9 ile sadeleşince −4611 bulunur.

  3. Örnek 3Bir şeridin uzunluğu 715 metredir. Uzunluğu ondalık gösterimle yaz; sonra elde ettiğin devirli gösterimi yeniden kesre çevirerek sonucu kontrol et.

    Cevabı göster

    Bölmede virgülden sonra 70 ÷ 15 = 4 kalan 10 ve 100 ÷ 15 = 6 kalan 10 bulunur. Kalan 10 yinelendiği için 6 tekrar eder: 0,4666… = 0,46̅. Kontrol için bütün rakamlar 46, devretmeyen rakam 4 alınır; pay 46 − 4 = 42, payda 90 olur. Pay ve payda 6 ile sadeleşince 4290 = 715 çıktığından sonuç doğrudur.

  4. Örnek 4Dört kentte aynı saatte ölçülen sıcaklıklar şöyledir: A kentinde −15 °C, B kentinde 9 °C, C kentinde −4 °C ve D kentinde 0 °C. Sıcaklıkları büyükten küçüğe sırala; en soğuk kenti belirt.

    Cevabı göster

    Sayı doğrusunda 9 en sağda, −15 en soldadır. Sağdan sola okuyunca 9 > 0 > −4 > −15 bulunur. Bu sıralamayla B, D, C, A kentleri sıralanır; en soğuk kent −15 °C ile A kentidir.

  5. Örnek 5Şu sayıları sayı doğrusunda yerleştirerek küçükten büyüğe sırala: −12, −74, 32, −2 ve 13.

    Cevabı göster

    Sayılardan −74 = −1,75 olduğundan −2 ile −1 arasında yer alır; −12 ise −1 ile 0 arasındadır. Pozitif olan 13 0 ile 1 arasında, 32 ise 1 ile 2 arasında bulunur. Soldan sağa okuyunca −2 < −74 < −12 < 13 < 32 bulunur.

  6. Örnek 6Bir bilgi yarışmasında yanlış cevaplar puan düşürdüğü için toplam puan negatif olabilir. Ece’nin toplam puanı −7, Kaan’ın toplam puanı −2’dir. Mert’in toplam puanı Ece’den büyük, Kaan’dan küçük ve tam sayıdır. Mert’in toplam puanı kaç farklı değer alabilir?

    Cevabı göster

    Mert’in puanı −7’den büyük ve −2’den küçük olduğundan sayı doğrusunda −7 ile −2 arasındadır. Bu aralıktaki tam sayılar −6, −5, −4 ve −3’tür. Bu yüzden Mert’in puanı 4 farklı değer alabilir.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Bir öğrenci 0,2333… sayısını 2390 biçiminde yazmıştır. Öğrencinin hatası aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 2Devirli ondalık gösteriminde 17 rakam grubu tekrar eden 0,4171717… sayısı kesre çevrilirse paydası kaç olur?

  3. 3Aşağıdaki karşılaştırmalardan hangisi doğrudur?

  4. 4Her ifadenin doğru mu yanlış mı olduğuna karar ver; yanlış çıkanların açıklamasını oku.

    • Devirli ondalık gösterimle yazılan sayılar rasyonel sayıdır.
    • Sayı doğrusunda +4, −9’un solunda yer aldığı için +4 < −9’dur.
    • Rasyonel sayı −32, −1’den büyüktür.
    • Sayı doğrusunda sıfır, pozitif sayıların solunda, negatif sayıların sağında yer alır.

  5. 5Her rasyonel sayıyı sayı doğrusunda içinde yer aldığı aralıkla eşleştir.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  6. 6Kelimeleri uygun boşluklara yerleştir. Bir kelime artacak.

    1. Sayı doğrusunda bir sayının sağında yer alan sayılar o sayıdan .
    2. İki negatif sayıdan sıfıra daha uzak olanı daha sayıdır.
    3. Eksi işaretli bir devirli ondalık gösterim kesre çevrilirken eksi işareti kesrin kalır.

  7. 7Ali, −8’in mutlak değeri −5’in mutlak değerinden büyük olduğu için −8 > −5 olduğunu söylüyor. Ali’nin görüşü doğru mudur? Sayı doğrusunu kullanarak gerekçelendir.

  8. 8Deniz, 0,999… sayısı yalnız 9’lardan oluştuğu için 1’den küçük olduğunu söylüyor. Bu görüşün yanlış olduğunu kesre çevirme yoluyla göster.

Kısaca

  • Devirli ondalık gösterim kesre çevrilirken pay, bütün rakamlardan oluşan sayıdan devretmeyen rakamlardan oluşan sayı çıkarılarak bulunur; payda, devreden rakam sayısı kadar 9 ve devretmeyen ondalık rakam sayısı kadar 0 ile yazılır.
  • Tam kısım devretmeyen rakamlara katılır; sayı negatifse eksi işareti kesrin önünde kalır. Her devirli ondalık gösterim bir rasyonel sayıdır; 0,999… ile 1 aynı sayıdır.
  • Sayı doğrusunda sağdaki sayı soldakinden büyüktür; rasyonel sayılar da tam sayılar gibi bu kurala uyar.
  • Rasyonel sayılar sayı doğrusuna yerleştirilip soldan sağa okunarak küçükten büyüğe sıralanır.
  • Pozitif sayılar sıfırdan büyük, negatif sayılar sıfırdan küçüktür; negatif sayılarda sıfırdan uzaklaştıkça sayı küçülür. Mutlak değer sıfıra uzaklığı verir, sırayı belirlemez.

Bu dersin öteki kaynakları