Rasyonel Sayılarda Karşılaştırma ve Sıralama; Sayı Doğrusu ve Yoğunluk Uygulamaları

Rasyonel sayıları karşılaştırmanın en temel ve görsel yolu sayı doğrusudur. Yatay bir sayı doğrusunda soldan sağa doğru ilerledikçe sayıların değeri her zaman artar; sağdan sola doğru gidildikçe ise sayıların değeri azalır.

Rasyonel sayılar işaretlerine göre üç gruba ayrılır: Negatif rasyonel sayılar ($\mathbb{Q}^-$), sıfır ($0$) ve pozitif rasyonel sayılar ($\mathbb{Q}^+$). İşaretleri farklı olan rasyonel sayıları karşılaştırırken hiçbir işlem yapmaya gerek yoktur: $\text{Negatif Rasyonel Sayı} < 0 < \text{Pozitif Rasyonel Sayı}$.

Örneğin $-\frac{15}{4} < 0 < \frac{1}{8}$ eşitsizliğinde $-\frac{15}{4}$ sayısı mutlak değerce büyük görünse de negatif olduğu için hem $0$'dan hem de $\frac{1}{8}$'den küçüktür.

Sayı doğrusunda $0$'dan uzaklaştıkça pozitif rasyonel sayılar büyürken, negatif rasyonel sayılar küçülür. Bu nedenle $-\frac{1}{2}$ sayısı $0$'a daha yakın olduğu için $-\frac{5}{2}$ sayısından büyüktür ($-\frac{1}{2} > -\frac{5}{2}$).

İki veya daha fazla pozitif rasyonel sayıyı karşılaştırırken en sık kullandığımız iki cebirsel yöntem payda eşitleme ve pay eşitlemedir:

1. Payda Eşitleme Yöntemi: Kesirler uygun sayılarla genişletilerek (veya sadeleştirilerek) paydaları eşitlenir. Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. Örneğin $\frac{2}{3}, \frac{5}{6}$ ve $\frac{7}{12}$ sayılarını karşılaştırırken paydaları $12$'de eşitleriz: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ ve $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ olur. Payları karşılaştırdığımızda $\frac{7}{12} < \frac{8}{12} < \frac{10}{12}$ olduğundan $\frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6}$ bulunur.

2. Pay Eşitleme Yöntemi: Paydaları eşitlemenin zor olduğu durumlarda paylar eşitlenir. Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan paydası KÜÇÜK olan daha büyüktür (çünkü bir bütün daha az eş parçaya bölündüğünde her bir dilim daha büyük olur). Örneğin $\frac{3}{7}, \frac{6}{11}$ ve $\frac{2}{5}$ sayılarının paylarını $6$'da eşitlersek: $\frac{6}{14}, \frac{6}{11}$ ve $\frac{6}{15}$ elde edilir. Paydası en küçük olan en büyük olacağından $\frac{6}{15} < \frac{6}{14} < \frac{6}{11}$, yani $\frac{2}{5} < \frac{3}{7} < \frac{6}{11}$ olur.

Negatif rasyonel sayıları karşılaştırırken ve sıralarken hata yapmamak için iki adımlı altın kural uygulanır:

1. Adım: Verilen negatif rasyonel sayıların önündeki eksi ($-$) işaretleri geçici olarak görmezden gelinir ve sayılar pozitifmiş gibi sıralanır.

2. Adım: Sayıların önüne tekrar eksi ($-$) işareti konulduğunda, aradaki küçüktür ($<$) ve büyüktür ($>$) sembollerinin yönü TERS ÇEVRİLİR!

Örnek: $-\frac{3}{4}, -\frac{5}{6}$ ve $-\frac{7}{12}$ sayılarını sıralayalım. Önce pozitif kabul edip paydalarını $12$'de eşitleriz: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ ve $\frac{7}{12}$. Pozitif sıralama: $\frac{7}{12} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ şeklindedir. Şimdi eksi işaretlerini koyup eşitsizlik yönünü ters çeviririz: $-\frac{7}{12} > -\frac{3}{4} > -\frac{5}{6}$ (veya küçükten büyüğe $-\frac{5}{6} < -\frac{3}{4} < -\frac{7}{12}$).

Bazı rasyonel sayıları pay veya payda eşitlemeye hiç gerek kalmadan $0$'a (başlangıca), $\frac{1}{2}$'ye (yarıma) ve $1$'e (bütüne) olan yakınlıklarını düşünerek zihinden karşılaştırabiliriz.

Örneğin $\frac{1}{9}, \frac{6}{11}$ ve $\frac{14}{15}$ sayılarını inceleyelim: $\frac{1}{9}$ kesri $0$'a çok yakındır; $\frac{6}{11}$ kesri yarımdan ($\frac{5,5}{11}$) biraz büyüktür; $\frac{14}{15}$ kesri ise $1$ tama çok yakındır. Dolayısıyla $\frac{1}{9} < \frac{6}{11} < \frac{14}{15}$ olduğu hemen görülür.

Pay ile paydası arasındaki fark sabit olan basit kesirlerde (örneğin farkı $1$ olan $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{9}{10}$ kesirlerinde): Pozitiflerde sayılar büyüdükçe kesir $1$ bütüne daha çok yaklaşır ve değeri BÜYÜR ($\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{9}{10}$). Negatiflerde ise tam tersine $-\frac{1}{2} > -\frac{2}{3} > -\frac{3}{4} > -\frac{9}{10}$ olur.

Rasyonel sayılar kesir ve ondalık gösterim olarak karışık verildiğinde, tüm sayıları ondalık gösterime çevirerek karşılaştırmak çok pratiktir. Örneğin $-\frac{3}{5}$ ile $-0,45$'i karşılaştırırken $-\frac{3}{5} = -0,60$ yazarız; $-0,45 > -0,60$ olduğundan $-0,45 > -\frac{3}{5}$ sonucuna ulaşırız.

Devirli ondalık gösterimleri sıralarken ise devreden rakamları virgülden sonra 3-4 basamak boyunca açarak alt alta yazarız ve soldan sağa doğru ilk farklı basamağı karşılaştırırız.

Örnek: $a = 2,\overline{43}$, $b = 2,4\overline{3}$ ve $c = 2,43$ sayılarını sıralayalım: • $a = 2,434343...$ • $b = 2,433333...$ • $c = 2,430000...$ Binde birler basamağındaki rakamlara ($4, 3, 0$) baktığımızda $c < b < a$ olduğu açıkça görülür (eğer sayılar negatif olsaydı $-a < -b < -c$ olurdu).

Tam sayılar kümesinde $1$ ile $2$ arasında başka bir tam sayı yoktur; ancak rasyonel sayılar kümesinde herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında SONSUZ sayıda rasyonel sayı vardır. Bu özelliğe rasyonel sayıların 'yoğunluk özelliği' denir.

İki rasyonel sayı arasındaki sayıları bulmak için kesirleri genişletiriz. Örneğin $\frac{1}{4}$ ile $\frac{2}{4}$ arasında paydası $4$ olan bir kesir görünmez; fakat her iki kesri $2$ ile genişletirsek $\frac{2}{8}$ ile $\frac{4}{8}$ elde ederiz ve tam ortalarındaki $\frac{3}{8}$ sayısını buluruz. Eğer $10$ ile genişletirsek ($\frac{10}{40}$ ile $\frac{20}{40}$) aralarında $\frac{11}{40}, \frac{12}{40}, \dots, \frac{19}{40}$ gibi pek çok rasyonel sayı yazabiliriz.

Ayrıca iki rasyonel sayının tam ortasındaki rasyonel sayıyı bulmak için iki sayıyı toplayıp ikiye bölebilir (aritmetik ortalamasını alabilir) veya paydaları eşitledikten sonra paylarının ortancasını seçebiliriz.