İçeriğe geç

7. sınıf · Matematik · 6. hafta (19-23 Ekim 2026)

Rasyonel Sayılarla İşlemler ve Problem Çözme

SAYILAR VE NİCELİKLER (1) teması · Konu özeti

Etkinlikler
Bu hafta

Tam sayılar ve kesirlerin birleşimiyle oluşan rasyonel sayılar kümesi, günlük hayatta sıcaklık değişimlerinden finansal hesaplamalara, tarif ölçülerinden mühendislik tasarımlarına kadar her alanda karşımıza çıkar. Bu hafta rasyonel sayılarla dört işlem yapmanın temel kurallarını, işlem özelliklerini, rasyonel sayıların karesi ile küpünü, çok adımlı merdivenli işlemleri ve gerçek yaşam problemlerini çözme stratejilerini adım adım öğreneceğiz.

1. Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için kesirlerin paydalarının eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse genişletme veya sadeleştirme yardımıyla paydalar en küçük ortak katta eşitlenir. Ortak payda sonucun paydasına aynen yazılır, paylar ise tam sayılarda toplama ve çıkarma kurallarına dikkat edilerek toplanır veya çıkarılır. Tam sayılı kesirler işlem yapılmadan önce bileşik kesre çevrilirse işaret hatalarının önüne geçilir.

Rasyonel sayılarla toplama işleminin değişme, birleşme, etkisiz eleman ve ters eleman özellikleri vardır. Toplama işleminin etkisiz (birim) elemanı 0'dır. Bir ab rasyonel sayısının toplamaya göre tersi -ab sayısıdır; çünkü bir sayı ile toplamaya göre tersinin toplamı daima 0'a eşittir.

RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ1. Eşit PaydalarPaylar toplanır/çıkarılırOrtak payda aynen yazılır(-2/7) + (-3/7) = -5/7İşaret kurallarına dikkat!2. Farklı PaydalarPaydalar EKOK ile eşitlenirGenişletme işlemi yapılır(3/4) - (5/6) = (9-10)/12Sonuç: -1/12 (en sade hal)3. İşlem ÖzellikleriDeğişme ve Birleşme varEtkisiz eleman: 0Toplama göre ters: -a/b(a/b) + (-a/b) = 0

2. Rasyonel Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi

Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yapılırken payda eşitlemeye gerek yoktur. Paylar kendi arasında çarpılarak paya, paydalar kendi arasında çarpılarak paydaya yazılır. İşlem kolaylığı için çarpmadan önce pay ile payda arasındaki ortak çarpanlar sadeleştirilir. İşaret belirlenirken tam sayılardaki kural geçerlidir: Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı veya bölümü pozitif (+), zıt işaretli iki rasyonel sayının çarpımı veya bölümü negatif (-) olur.

Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1, yutan elemanı ise 0'dır. Sıfırdan farklı bir ab rasyonel sayısının çarpmaya göre tersi, işareti korunarak pay ve paydasının yer değiştirilmiş hali olan ba sayısıdır. Rasyonel sayılarla bölme işlemi yapılırken birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı çarpmaya göre ters çevrilerek birinci sayı ile çarpılır.

RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMİÇarpma KurallarıPay x Pay / Payda x PaydaÖnce sadeleştirme yap!Aynı işaretliler: (+)Zıt işaretliler: (-)Çarpmaya Göre TersPay ve payda yer değiştirirİşaret ASLA değişmez!-3/5 tersi -> -5/30 sayısının tersi YOKTURBölme İşlemi1. sayı aynen yazılır2. sayı ters çevrilip çarpılır(a/b) : (c/d) = (a/b) . (d/c)Ana kesir çizgisi hizası!

3. Rasyonel Sayıların Karesi ve Küpü

Bir rasyonel sayının kendisiyle çarpımı o sayının karesini (2. kuvvetini), kendisiyle üç kez tekrarlı çarpımı ise küpünü (3. kuvvetini) verir. Rasyonel bir sayının kuvveti alınırken hem payın hem de paydanın ayrı ayrı kuvveti alınır. Tam sayılı kesirlerin veya ondalık gösterimlerin kuvveti alınırken sayı önce bileşik kesre çevrilmelidir.

Pozitif rasyonel sayıların hem karesi hem küpü pozitiftir. Negatif rasyonel sayıların ise karesi daima pozitif, küpü daima negatiftir. Örneğin (-23) sayısının karesi +49 iken, küpü -827 olur.

RASYONEL SAYILARIN KUVVETLERİ VE ÇOK ADIMLI İŞLEMLERKaresi ve KüpüNegatifin çift kuvveti (+)(-2/3)² = +4/9Negatifin tek kuvveti (-)(-2/3)³ = -8/27İşlem Önceliği1. Üslü ifadeler2. Parantez içi işlemler3. Çarpma veya bölme4. Toplama veya çıkarmaMerdivenli KesirlerEn alt/iç basamaktan başlaAna kesir çizgisini belirleÜstteki pay, alttaki paydaAdım adım sadeleştir

4. Çok Adımlı İşlemler ve Merdivenli Kesirler

Birden fazla işlemin bir arada bulunduğu çok adımlı rasyonel sayı ifadelerinde işlem önceliği kurallarına uyulur: Önce üslü ifadelerin değeri bulunur, ardından parantez içi işlemler yapılır, daha sonra çarpma veya bölme işlemleri soldan sağa sırayla yürütülür, en son toplama ve çıkarma işlemleri tamamlanır.

Kesir çizgilerinin üst üste yer aldığı çok adımlı (merdivenli) işlemlerde en önemli adım ana kesir çizgisini tespit etmektir. Ana kesir çizgisi daima eşittir (=) sembolünün veya işlem işaretlerinin tam hizasındaki en uzun çizgidir. Ana kesir çizgisinin üstü birinci sayı (pay), altı ise ikinci sayı (payda) olarak kabul edilir ve işlemler en içteki/en alttaki basamaktan başlanarak adım adım çözülür.

5. Rasyonel Sayılarla Problem Çözme Stratejileri

Gerçek yaşam problemlerinde bir bütünün belirtilen kesir kadarını bulmak için bütün ile kesir çarpılır. Bir kesrin kesir kadarı (örneğin kalanın 25'si) sorulduğunda da ilgili iki kesir birbiriyle çarpılır. Buna karşılık, kesir kadarı verilen bir bütünün tamamını bulmak için verilen miktar kesre bölünür.

Harcama, yol, su deposu veya miras paylaşımı gibi problemlerde 'kalanın belli bir kesri' ifadesine çok dikkat edilmelidir. Önce bütünden (1 tamdan) ilk harcanan kesir çıkarılarak kalan kesir bulunur; ardından ikinci harcama bu kalan kesir üzerinden çarpma işlemiyle hesaplanır.

RASYONEL SAYI PROBLEMLERİ ÇÖZÜM STRATEJİLERİBütünden ParçayaBütünün kesir kadarı:Sayı kesir ile ÇARPILIR120 TL'nin 3/4'ü:120 . (3/4) = 90 TLParçadan BütüneKesir kadarı verilen bütün:Sayı kesre BÖLÜNÜR2/5'i 40 olan sayı:40 : (2/5) = 100Kalanın KalanıÖnce 1'den çıkarıp kalanı bulKalan kesirle yeni kesri çarp1/3'ü, sonra kalanın 1/2'si:(2/3) . (1/2) = 1/3

6. Ondalık Gösterimlerle Rasyonel İşlemler

Rasyonel sayılarla işlem yaparken bazı sayılar ondalık veya devirli ondalık gösterim biçiminde verilebilir. Bu durumda ondalık gösterimleri rasyonel sayıya (ab biçimine) dönüştürerek işlem yapmak hem sadeleştirme kolaylığı sağlar hem de virgül kaydırma hatalarını önler.

Devirli ondalık gösterimler rasyonel sayıya çevrilirken paya (tüm sayı - devretmeyen kısım), paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır. Örneğin 0,333... devirli sayısı 39 yani sadeleşmiş haliyle 13 olarak işlemlere dahil edilir.

Örnekler

  1. Örnek 1(-34) + (56) - (-112) işleminin sonucu kaçtır?

    Cevabı göster

    Paydalar 12'de eşitlenir. İlk kesir 3 ile, ikinci kesir 2 ile genişletilir; iki eksi yan yana geldiği için + olur: (-912) + (1012) + (112) = -9+10+112 = 212. Sadeleştirilirse sonuç 16 bulunur.

  2. Örnek 2-123 sayısının toplamaya göre tersi A, çarpmaya göre tersi B olduğuna göre A . B çarpımı kaçtır?

    Cevabı göster

    Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim: -123 = -53. Bu sayının toplamaya göre tersi A = +53, çarpmaya göre tersi ise B = -35 olur. İkisini çarparsak: (53) . (-35) = -1515 = -1 bulunur.

  3. Örnek 3(-12)³ : (-34)² işleminin sonucu kaçtır?

    Cevabı göster

    Önce üslü ifadelerin değerlerini bulalım: (-12)³ = -18 ve (-34)² = +916. Şimdi bölme işlemini yapalım: (-18) : (916) = (-18) . (169). 16 ile 8 sadeleşir (2 kalır), sonuç -29 olur.

  4. Örnek 41 - 11 + 12 çok adımlı işleminin sonucunu bulunuz.

    Cevabı göster

    En alttaki basamaktan başlayalım: 1 + 12 = 32. Şimdi 1'i 32'ye bölelim: 1 : (32) = 23. En son baştaki çıkarma işlemini yapalım: 1 - 23 = 13 bulunur.

  5. Örnek 5Bir su deposunun önce 25'si, daha sonra kalan suyun 13'i kullanılıyor. Depoda geriye 24 litre su kaldığına göre deponun tamamı kaç litre su alır?

    Cevabı göster

    Deponun 25'si kullanılınca geriye 1 - 25 = 35'i kalır. Kalanın 13'i kullanılırsa: (35) . (13) = 15'i daha kullanılmış olur. Toplam kalan: 35 - 15 = 25'tir. 25'si 24 litre ise tamamı 24 : (25) = 24 . (52) = 60 litredir.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1(-25) - (-310) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  2. 20,75 rasyonel sayısının çarpmaya göre tersi ile toplamaya göre tersinin toplamı kaçtır?

  3. 3(-23)² - (-13)³ işleminin sonucu kaçtır?

  4. 4Bir telin ucundan 16'i kesildiğinde telin orta noktası eski durumuna göre 5 cm kaymaktadır. Buna göre telin kesilmeden önceki boyu kaç santimetredir?

  5. 5(1 + 12) . (1 + 13) . (1 + 14) . (1 + 15) çarpımının sonucu kaçtır?

  6. 6Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) ya da yanlış (Y) olduğunu belirleyiniz.

    • Rasyonel sayılarla toplama işleminde etkisiz (birim) eleman 0'dır.
    • -47 rasyonel sayısının çarpmaya göre tersi +74 sayısıdır.
    • Negatif bir rasyonel sayının küpü (3. kuvveti) daima negatiftir.
    • 0 rasyonel sayısının çarpmaya göre tersi yine 0'dır.
    • Bir sayıyı 12'ye bölmek, o sayıyı 2 ile çarpmakla aynı sonucu verir.

  7. 7Aşağıdaki rasyonel sayı kavramlarını ve işlemleri karşılıklarıyla eşleştiriniz.

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  8. 8Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kavramlarla tamamlayınız.

    1. Bir rasyonel sayı ile toplamaya göre tersinin toplamı daima sayısına eşittir.
    2. Bir rasyonel sayı ile çarpmaya göre tersinin çarpımı daima sayısına eşittir.
    3. Negatif bir rasyonel sayının karesi alındığında sonuç daima işaretli olur.
    4. Çok adımlı kesir işlemlerinde pay ve paydayı ayıran en belirgin çizgiye kesir çizgisi denir.
    5. Rasyonel sayılarla bölme işleminde birinci sayı aynen yazılır, ikinci sayı çevrilerek çarpılır.

  9. 9Bir öğrenci harçlığının önce 14'ü ile kitap, sonra kalan parasının 23'si ile defter alıyor. Öğrencinin geriye 45 TL'si kaldığına göre başlangıçtaki harçlığı kaç TL'dir? Adım adım bulunuz.

Kısaca

  • Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma yapılırken paydalar eşit değilse önce paydalar eşitlenir; ortak payda aynen yazılıp paylar arasında tam sayı kurallarına göre işlem yapılır.
  • Bir rasyonel sayının toplamaya göre tersi alınırken yalnızca sayının işareti değiştirilir; toplamaya göre etkisiz eleman 0'dır.
  • Rasyonel sayılarla çarpma işleminde paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır; çarpmaya göre etkisiz eleman 1, yutan eleman 0'dır.
  • Sıfırdan farklı bir rasyonel sayının çarpmaya göre tersi alınırken işareti değiştirilmeden pay ile paydasının yeri değiştirilir; bölme işleminde birinci sayı aynen yazılıp ikinci sayı ters çevrilerek çarpılır.
  • Negatif rasyonel sayıların karesi (2. kuvveti) daima pozitif, küpü (3. kuvveti) ise daima negatiftir.
  • Çok adımlı işlemlerde işlem önceliği sırası (üslü ifadeler, parantez içi, çarpma-bölme, toplama-çıkarma) ve ana kesir çizgisinin konumu belirleyicidir.

Bu dersin öteki kaynakları