İçeriğe geç

7. sınıf · Matematik · 11. hafta (30 Kasım-4 Aralık 2026)

Günlük Hayat Durumlarında Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Alanı ve Hacmi İle Modellenen Problemleri Çözme ve Sıvı Ölçme Birimleri (Litre - dm³ İlişkisi) (MAT.7.4.6)

Geometrik Nicelikler (1) teması · Konu özeti

🃏 Kavram kartlarıEtkinlikler
Bu hafta

Hediye kutularını kaplamak için gereken kâğıt miktarından bir yüzme havuzunun iç yüzeyini fayansla döşemeye, bir akvaryumun kaç litre su alacağından büyük bir kolinin içine kaç adet küçük kutu sığacağına kadar pek çok günlük hayat durumu dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı ve hacmi ile modellenir. Bu hafta MAT.7.4.6 öğrenme çıktısı kapsamında yüzey alanı, hacim ve sıvı ölçme problemlerini çözme stratejilerini inceleyeceğiz.

Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Alanı ve Hacim Bağıntılarının Karşılaştırılması

Farklı üç ayrıtının uzunluğu a, b ve c olan bir dikdörtgenler prizmasında karşılıklı yüzler birbirine eş dikdörtgenlerdir. Bir prizma probleminde 'yüzey alanı' mı yoksa 'hacim' mi hesaplanacağını doğru belirlemek çözümün ilk adımıdır: • Yüzey Alanı: Cismin dışını kaplama, boyama, sac/karton ile kutu üretme veya fayans döşeme durumlarında kullanılır. Prizmanın 6 yüzünün alanları toplamıdır: Yüzey Alanı = 2 · (a·b + a·c + b·c). Tüm ayrıtları a olan bir küpün yüzey alanı ise birbirine eş 6 kareden oluştuğu için Alan = 6 ·a2 bağıntısıyla bulunur.

• Hacim (V): Cismin uzayda kapladığı boşluk veya içine alabileceği su, süt, kum, hava ya da birim küp miktarını soran durumlarda kullanılır. Taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir: Hacim (V) = Taban Alanı · Yükseklik = a · b · c. Bir ayrıtı a olan küpün hacmi ise V = a3 = a · a · a bağıntısıyla hesaplanır.

Günlük hayat problemlerinde prizmanın tüm yüzlerinin işleme dâhil olup olmadığına özellikle dikkat edilmelidir. Örneğin üstü açık bir su deposu, havuz veya kapaksız kutu boyanırken ya da kaplanırken üst taban (a·b) yoktur; bu durumda 5 yüzün alanı = a·b + 2·(a·c + b·c) olarak hesaplanır.

DİKDÖRTGENLER PRİZMASININ YÜZEY ALANI VE HACMİ (MAT.7.4.6) Prizma Modeli (Ayrıtlar: a, b, c) a (uzunluk) b (genişlik) c • 6 dikdörtgensel yüz • 12 ayrıt (4'er eş ayrıt) • 8 köşe Küp: a = b = c Yüzey Alanı ve Hacim Bağıntıları 1. Yüzey Alanı (Kaplama / Boyama / Hediye Paketi): Alan = 2 · (a·b + a·c + b·c) • Küpün Yüzey Alanı = 6 · a² 2. Hacim (İç Kapasite / Su / Kum / Koli İstifleme): Hacim (V) = Taban Alanı · Yükseklik = a · b · c • Küpün Hacmi (V) = a³ = a · a · a Üstü açık kutuda: Alan = a·b + 2·(a·c + b·c)
🔍 Büyütmek için dokunun

Hacim Ölçme Birimleri ile Sıvı Ölçme Birimleri Arasındaki Dönüşüm Köprüsü

Standart hacim ölçme birimleri büyükten küçüğe doğru metreküp (m3), desimetreküp (dm3), santimetreküp (cm3) ve milimetreküp (mm3) şeklinde sıralanır. Hacim üç boyutlu (uzunluk × genişlik × yükseklik) olduğu için birimler kendi aralarında biner biner (1000 ile çarpılarak veya bölünerek) dönüşür: 1 m3 = 1000 dm3, 1 dm3 = 1000 cm3 ve 1 cm3 = 1000 mm3.

Sıvıların (su, süt, zeytinyağı, meyve suyu, benzin) miktarını ölçerken temel birim Litre (L) olup alt birimleri desilitre (dL), santilitre (cL) ve mililitre (mL) şeklindedir. Sıvı ölçme birimleri kendi aralarında onar onar (10 ile çarpılarak veya bölünerek) değişir: 1 L = 10 dL = 100 cL = 1000 mL.

Prizma şeklindeki bir kabın hacminden alabileceği sıvı miktarına geçerken Altın Köprü bağıntısı kullanılır: Ayrıtları 1 dm (10 cm) olan bir küpün hacmi 1 dm3 olup tam 1 Litre (L) sıvı alır. Dolayısıyla: • 1 dm3 = 1 L = 1000 mL • 1 cm3 = 1 mL • 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 L.

HACİM VE SIVI ÖLÇME BİRİMLERİ KÖPRÜSÜ (1 dm³ = 1 L) 1. Hacim Ölçme Birimleri (1000'er Değişim) m³ ⇄ dm³ ⇄ cm³ ⇄ mm³ • Aşağı inerken her adımda 1000 ile çarpılır: 1 m³ = 1000 dm³ | 1 dm³ = 1000 cm³ 1 cm³ = 1000 mm³ • Yukarı çıkarken her adımda 1000'e bölünür: 5000 cm³ = 5 dm³ | 2500 dm³ = 2,5 m³ 2. Sıvı Ölçme Birimleri (10'ar) ve Köprü L ⇄ dL ⇄ cL ⇄ mL • 1 L = 10 dL = 100 cL = 1000 mL ALTIN KÖPRÜ BAĞINTILARI 1 dm³ = 1 Litre (L) = 1000 mL 1 cm³ = 1 Mililitre (mL) 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 Litre (L)
🔍 Büyütmek için dokunun

Günlük Hayat Problemlerini Çözme Stratejileri (Depo, Koli ve Kesme-Birleştirme)

1. Sıvı Doldurma ve Boşaltma Problemleri: Dikdörtgenler prizması biçimindeki bir deponun veya akvaryumun 34'ü ya da yüzde kaçı doluysa, suyun yüksekliği deponun yüksekliğinin o kesri kadardır. Örneğin taban ayrıtları 50 cm ve 40 cm, yüksekliği 30 cm olan bir akvaryumun tamamı V = 50 · 40 · 30 = 60.000 cm3 = 60 dm3 = 60 L su alır; yarısı doluysa içinde 30 L su vardır. İçindeki su başka bir prizmatik kaba boşaltıldığında suyun hacmi değişmez; yeni kaptaki su yüksekliği h = Su Hacmi ÷ Yeni Taban Alanı ile bulunur.

2. Koli İçine Kutu Yerleştirme (İstifleme) Problemleri: Büyük bir kolinin içine boşluk kalmayacak şekilde en fazla kaç adet küçük prizma kutu sığacağını bulmak için önce tüm uzunluklar aynı birime çevrilir, ardından büyük kolinin ayrıtları küçük kutunun eşleşen ayrıtlarına bölünüp çıkan sayılar çarpılır: Kutu Sayısı = Büyük Prizmanın HacmiKüçük Prizmanın Hacmi.

3. Prizmaları Birleştirme ve Kesme Problemleri: Eş küpler veya prizmalar yan yana yapıştırıldığında toplam hacim değişmez (birleşen parçaların hacimleri toplamına eşittir); ancak yapışan yüzler içeride kaldığı için yüzey alanı azalır. Tersine bir prizma kesilerek parçalara ayrıldığında toplam hacim yine korunurken, yeni kesim yüzeyleri ortaya çıktığı için toplam yüzey alanı artar.

GÜNLÜK HAYAT PROBLEMLERİ ÇÖZÜM STRATEJİLERİ (MAT.7.4.6) 1. Depo ve Akvaryum (Sıvı) • Ayrıtları cm verilen akvaryumun hacmi cm³ olarak bulunur. • 1000'e bölünerek dm³ = Litre cinsinden su kapasitesi hesaplanır. Örnek: 50 cm × 40 cm × 30 cm V = 60.000 cm³ = 60 dm³ = 60 L 2. Koliye Kutu Yerleştirme • Büyük kolinin ayrıtları, küçük kutunun eşleşen ayrıtlarına bölünerek sığacak adet bulunur: Adet = V(Büyük) / V(Küçük) • Önce tüm ayrıtlar aynı uzunluk birimine (cm veya dm) çevrilir! 3. Boyama ve Kaplama (Alan) • Oda duvarı veya havuz boyanırken HANGİ YÜZLERİN boyandığına dikkat edilir! • Havuzda: Taban + 4 yan yüz (Üst yüz açıktır, çıkarılır). • Oda boyamada: Kapı ve pencere alanları toplam alandan düşülür.
🔍 Büyütmek için dokunun

Örnekler

  1. Örnek 1Ayrıt uzunlukları 5 dm, 4 dm ve 3 dm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kapalı bir hediye kutusunun tüm dış yüzeyini kaplamak için kaç dm² kâğıt gerekir ve bu kutunun hacmi kaç dm³'tür?

    Cevabı göster

    • Yüzey Alanı = 2 · (a·b + a·c + b·c) = 2 · (5·4 + 5·3 + 4·3) = 2 · (20 + 15 + 12) = 2 · 47 = 94 dm² kâğıt gerekir. • Hacim (V) = a · b · c = 5 · 4 · 3 = 60 dm³.

  2. Örnek 2Taban ayrıtları 80 cm ve 50 cm, yüksekliği 60 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir akvaryumun 3/4'ü su ile doludur. Akvaryumda kaç litre su vardır?

    Cevabı göster

    Önce ayrıtları desimetreye çevirelim (1 dm = 10 cm): 8 dm, 5 dm ve 6 dm. Akvaryumun tamamının hacmi: V = 8 · 5 · 6 = 240 dm³ = 240 Litre. 3/4'ü dolu olduğuna göre: 240 · (3/4) = 180 Litre su vardır.

  3. Örnek 3Taban ayrıtları 10 m ve 6 m, derinliği (yüksekliği) 2 m olan üstü açık dikdörtgenler prizması biçimindeki bir yüzme havuzunun tabanı ve yan duvarları fayansla kaplanacaktır. Kaç m² fayans gerekir?

    Cevabı göster

    Havuzun üstü açık olduğu için üst taban alanı (10 · 6) hesaba katılmaz: • Taban alanı = 10 · 6 = 60 m² • Yan duvarların alanı = 2 · (10·2 + 6·2) = 2 · (20 + 12) = 64 m² • Toplam fayans alanı = 60 + 64 = 124 m².

  4. Örnek 4Ayrıt uzunlukları 60 cm, 40 cm ve 30 cm olan büyük bir karton kolinin içine, bir ayrıtı 10 cm olan küp şeklindeki çay kutularından boşluk kalmayacak biçimde en fazla kaç adet yerleştirilebilir?

    Cevabı göster

    • Büyük kolinin hacmi: V(koli) = 60 · 40 · 30 = 72.000 cm³ • Küp kutunun hacmi: V(kutu) = 10 · 10 · 10 = 1.000 cm³ • Yerleştirilebilecek kutu sayısı = 72.000 ÷ 1.000 = 72 adet (veya ayrıt oranlarıyla: (60/10) · (40/10) · (30/10) = 6 · 4 · 3 = 72 adet).

  5. Örnek 5Ayrıtları 20 cm, 10 cm ve 5 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutu meyve suyunun tamamı, her biri 250 mL sıvı alan bardaklara eşit olarak paylaştırılacaktır. Bu iş için kaç bardak gerekir?

    Cevabı göster

    Meyve suyu kutusunun hacmi: V = 20 · 10 · 5 = 1.000 cm³. 1 cm³ = 1 mL olduğundan kutuda 1.000 mL meyve suyu vardır. Gereken bardak sayısı = 1.000 mL ÷ 250 mL = 4 bardak.

  6. Örnek 6Bir ayrıtı 4 cm olan iki eş küp, birer yüzleri tamamen çakışacak şekilde yan yana yapıştırılarak bir kare prizma elde ediliyor. Oluşan kare prizmanın hacmini ve yüzey alanını bulunuz.

    Cevabı göster

    Oluşan kare prizmanın ayrıtları: a = 4 + 4 = 8 cm, b = 4 cm ve c = 4 cm olur. • Hacim (V) = 8 · 4 · 4 = 128 cm³ (iki küpün hacimleri toplamı: 64 + 64 = 128 cm³). • Yüzey Alanı = 2 · (8·4 + 8·4 + 4·4) = 2 · (32 + 32 + 16) = 160 cm² (veya 10 eş kare yüz: 10 · 4² = 160 cm²).

Kavram Kartları

1 / 8

Karta dokunarak arka yüzündeki açıklamayı görün; yön tuşlarıyla kartlar arasında geçiş yapın.

Etkinlikler

Soruları çözün; her cevaptan sonra doğru mu yanlış mı olduğunu hemen göreceksiniz.

  1. 1Ayrıt uzunlukları 6 cm, 5 cm ve 4 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kapalı bir ilaç kutusunun tüm dış yüzey alanı kaç cm²'dir?

  2. 2Taban ayrıtları 5 dm ve 4 dm, yüksekliği 6 dm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki boş bir su deposu tamamen doldurulmak isteniyor. Depoyu doldurmak için kaç litre suya ihtiyaç vardır?

  3. 3Yüzey alanı 150 cm² olan küp şeklindeki kapalı bir tahta blokun hacmi kaç cm³'tür?

  4. 4Taban alanı 400 cm² olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir sürahinin içinde 3 litre su bulunmaktadır. Sürahideki suyun yüksekliği kaç santimetredir?

  5. 5

    • Ayrıtları a, b ve c olan kapalı bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı 2·(a·b + a·c + b·c) bağıntısıyla hesaplanır.
    • Hacim ölçümü ile sıvı ölçümü arasındaki dönüşümde 1 desimetreküp (1 dm³) hacim tam 10 litreye eşittir.
    • Bir ayrıtı 1 cm olan küpün hacmi 1 cm³ olup alabileceği sıvı miktarı 1 mililitredir (1 cm³ = 1 mL).
    • Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıt uzunlukları 2 katına çıkarılırsa prizmanın hacmi de 2 katına çıkar.
    • Bir kaptaki su farklı taban alanına sahip başka bir prizmatik kaba boşaltıldığında taşma yoksa suyun hacmi değişmez.

  6. 6

    Soldan bir öğeye, sonra sağdaki eşine dokunun.

  7. 7

    1. Kapalı bir hediye kutusunu kaplamak için gereken karton miktarı hesaplanırken prizmanın alanı bulunur.
    2. Bir su deposunun içine alabileceği su miktarı hesaplanırken taban alanı ile çarpılarak hacim bulunur.
    3. Hacim ölçme birimlerinden sıvı ölçme birimlerine geçişte 1 dm3 hacim tam 1 sıvıya karşılık gelir.
    4. Bir ayrıtı 6 cm olan küp biçimindeki bir kutunun tüm dış yüzey alanı 6 · 62 işleminden cm2 olarak bulunur.
    5. İki eş küp yan yana yapıştırıldığında oluşan prizmanın toplam hacmi değişmezken dış yüzey alanı yüz kadar azalır.

  8. 8Taban ayrıtları 50 cm ve 40 cm, yüksekliği 30 cm olan üstü açık cam bir akvaryumun: 1) Yapımında kaç cm² cam kullanıldığını, 2) Tamamının kaç cm³ ve kaç litre su alacağını 3 adımda hesaplayarak açıklayınız.

Kısaca

  • Yüzey Alanı Bağıntısı: Ayrıtları a, b, c olan dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı Alan = 2 · (a·b + a·c + b·c), küpün yüzey alanı ise Alan = 6 · a2 bağıntısıyla hesaplanır (kaplama ve boyama problemleri).
  • Hacim Bağıntısı: Dikdörtgenler prizmasının hacmi V = Taban Alanı · Yükseklik = a · b · c, küpün hacmi ise V = a3 bağıntısıyla bulunur (iç kapasite ve istifleme problemleri).
  • Hacim - Sıvı Dönüşüm Köprüsü: Hacim birimleri 1000'er, sıvı birimleri 10'ar değişir; aralarındaki köprü 1 dm3 = 1 L, 1 cm3 = 1 mL ve 1 m3 = 1000 L eşitlikleridir.
  • Açık Kutu ve Havuz Problemleri: Üstü açık havuz veya kapaksız kutu sorularında üst yüz (a·b) toplam yüzey alanından çıkarılır (5 yüz hesaplanır).
  • Koli İstifleme ve Aktarma: Büyük koliye sığacak kutu sayısı V(Büyük)V(Küçük) ile bulunur; kaptan kaba aktarılan sıvının hacmi değişmez.

Bu dersin öteki kaynakları